所谓悖论，从字面上讲就是荒谬的理论。那么，为什么要把悖论这样一个晦涩古怪的名词来取代这一通俗易懂的说法呢？按照美国柯朗数学研究所M. Kline教授的说法，那是为了不把自相矛盾的真相摆在桌面上，才采用了这样一个婉转的措辞。
悖论带来了什么
下一个问题是研究悖论的意义是什么？答案是悖论将对促进人类认知能力和科学发展起到积极作用。下面两个著名的例子可以说明这一点。
毕达哥拉斯悖论。毕达哥拉斯是古希腊最杰出的数学家。西方理论数学的创始人创立了著名的毕达哥拉斯学派。“所有数字都可以表示为整数或整数的比率”是该学派的数学信念，并被广泛接受。学校最引以为傲的数学成就是发现了“毕达哥拉斯定理”，也被称为“百牛定理”，因为它屠杀了100头牛来庆祝。“毕达哥拉斯定理”这个定理的发现曾动摇了公众对数学的信仰。
当他想到“边长为1的正方形的对角线长度”时，这所学校的一名成员希帕索斯遇到了一个令他困惑的情况。因为这相当于找到直角边为1的等腰直角三角形的斜边l。根据毕达哥拉斯定理，L2=12+12=2，以及12=1，22=4，12<L2<22，因此可以得出结论，l介于1和2之间。因为1和2是两个连续的整数，所以l不是整数，而是分数；设L=是约化分数，那么n和m是互质，L2=（）2=2，我们可以推导出M2=2n2。。。①, 即M2为偶数，M为偶数（否则M2为奇数，导致矛盾）；① 设P2=2n，即分数P2=4m，与P2=2n并不矛盾。
很明显，它既不是一个分数，也不是一个分数。“犯罪者”希帕索斯付出了生命的代价，但这并不能阻止人们重新思考和引入一个新的数字——无理数。现在，当人们很容易用它来表达这个结果时，谁能想到这样的数字引起了巨大的恐慌呢？
下降悖论。亚里士多德是古希腊落体研究的代表人物。他的下落运动定律——不同重量的物体从高空下落的速度与它们的重量成正比，这一点得到了广泛认可，因为它与日常生活的事实非常接近。
16世纪，意大利著名天文学家和物理学家伽利略质疑这一“权威结论”，于是1589年出现了“比萨斜塔实验”。在众目睽睽之下，伽利略让两个不同重量的铁球同时自由下落。结果，两个铁球同时落下。此外，伽利略还进行了以下假设推导：
“物体越重，下落越快”的假设是正确的。然后，现在有两个物体a和B。a的重量超过B。根据假设，a比B下降得快；然后，将两个对象a和B固定在一起，得到对象C。显然，C的权重更大。不过，根据这个假设，C应该下降得最快。
通过分析C下降时的情况，可以发现C是由a和B组成的，重a的速度比轻B
的速度快。这样，a越快，拉得越慢的B在前面，B越慢，拉得越快的a在后面。因此，在B的影响下，a和B的下降速度（即C）应在a和B各自的自由下降速度之间。也就是说，C的下降速度比a慢。这与之前的结论“C下降得最快”相矛盾。
伽利略采用了“用另一种方式来对待另一个身体”的方法，用亚里士多德的判断作为严格推导的前提，得出了与前提相矛盾的结论，逻辑上推翻了亚里士多德根深蒂固的结论，为现代物理学的发展奠定了重要的基础。
总之，悖论的出现使人们既高兴又担忧。幸运的是，这一悖论是客观存在的。它将激发人们创造性地探索和重新思考的欲望，这往往会给人类带来新的思想和理解；令人担忧的是，数学家们在面对悖论时突然陷入逻辑的两难境地，目前还没有完美的解决方案。但我们有理由相信，悖论是开辟新领域的“垫脚石”。事实上，数学史上的三次数学危机都是由悖论引起的，悖论可能为世界打开一扇新的大门。
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